Показано с 1 по 3 из 3

Тема: "Чудеса" математические

  1. #1
    Фанат Array Аватар для Mathem
    Регистрация
    22.11.2015
    Сообщений
    157
    Сказал(а) спасибо
    6
    Поблагодарили 485 раз(а)
    в 158 сообщениях
    Онлайн
    1 М 3 Нед 3 Дней 14 ч 7 мин 16 сек
    В среднем
    15 мин 49 сек

    "Чудеса" математические

    Mathem (jakov)

    КУБАТУРНАЯ ФОРМУЛА 9-й СТЕПЕНИ алгебраической точности
    с 20-ю узлами для квадрата: [ -1 ≤ x ≤ 1; -1 ≤ y ≤ 1].

    Получил её в июле 2011 года. Пришлось проделать много занудной технической работы. Однако вознаграждён за неё созерцанием удививших меня «чудес».
    До сих пор известна была (из справочников) аналогичная формула максимум 7-й степени точности (с 12-ю узлами), являющаяся наилучшей (по числу узлов). Эта новая формула – тоже «наилучшая».

    Скрытый текст

    Обещанное "ретуширование": символ ` воспринимайте как пробел.
    Начинаю с ОТВЕТА (параметров этой формулы):

    `u = 0,48892 68569 74369 ` А = 0,45416 39606 86749
    v1 = 0,69088 05504 86348 `B1 = 0,21420 03609 26862
    v2 = 0,93965 52580 96846 `B2 = 0,04273 12318 65773
    wx = 0,91862 04410 56722 ``C = 0,14445 22232 60307
    wy = 0,34487 20253 64404

    Вычисления велись на 16-значном калькуляторе. Погрешности (± 1 или чуть больше) возможны лишь в последних знаках после запятой.

    Первая строка означает, что при численном интегрировании по нашему квадрату функции f(x,y) следует сложить взятые с коэффициентом А величины f(u,0), f(0,u), f(-u,0) и f(0,-u).
    Вторая и третья строки, - что надо продолжать складывать с коэффициентом В величины f(v,v), f(-v,v),
    f(-v,-v) и f(v,-v). Здесь будет две такие группы.
    Четвёртая и пятая строки, - что надо складывать с коэффициентом С восемь величин: f(wx,wy), f(wy,wx), f(-wx,wy), f(-wy,wx), f(-wx,-wy), f(-wy,-wx), f(wx,-wy) и f(wy,-wx).

    Формула точна (если игнорировать погрешности в последних знаках) для всех многочленов до 9-й степени включительно.
    Формула прошла тест-контроль при интегрировании одночленов:
    1, `x^2, `x^4, `x^2 y^2, `x^6, ` x^4 y^2, `x^8, ` x^6 y^2, `x^4 y^4.
    При этом отклонения от истинных теоретических значений интегралов наблюдались лишь в последнем (15-м) знаке после запятой. Симметричное расположение узлов кубатуры гарантирует аналогичные результаты при замене в этих одночленах x на y и наоборот. Кроме того, оно гарантирует равенство нулю численного значения интеграла от любого одночлена, содержащего хотя бы одно из переменных в нечётной степени, в частности, любого одночлена нечётной степени. Для выходящих за задуманный диапазон одночленов x^10, `x^8 y^2 и x^6 y^4 ошибки составили соответственно -0,74%, -0,17% и +3,7%.

    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

    А теперь хочу поделиться с неленивым (математически) читателем поразившими меня «чудесами». Для этого изложу (конспективно) вывод этой формулы.

    Задача сводится к составлению и решению следующей системы девяти алгебраических уравнений с 9-ю неизвестными:

    4 а1 `````+ 4 а2 ```` + 4 а3 ```` + 8 а4 ``````````````````````= 4
    2 а1 x1^2 + 4 a2 x2^2 + 4 a3 x3^2 + 4 a4 (x4^2+y4^2) ``````````= 4/3
    2 a1 x1^4 + 4 a2 x2^4 + 4 a3 x3^4 + 4 a4 (x4^4+y4^4) ````````` = 4/5
    ```````````4 a2 x2^4 + 4 a3 x3^4 + 8 a4 (x4^2 y4^2) ``````````= 4/9
    2 a1 x1^6 + 4 a2 x2^6 + 4 a3 x3^6 + 4 a4 (x4^6+y4^6) ``````````= 4/7
    ```````````4 a2 x2^6 + 4 a3 x3^6 + 4 a4 (x4^4 y4^2+x4^2 y4^4) = 4/15
    2 a1 x1^8 + 4 a2 x2^8 + 4 a3 x3^8 + 4 a4 (x4^8+y4^8) ``````````= 4/9
    ```````````4 a2 x2^8 + 4 a3 x3^8 + 4 a4 (x4^6 y4^2+x4^2 y4^6) = 4/21
    ```````````4 a2 x2^8 + 4 a3 x3^8 + 8 a4 (x4^4 y4^4) ``````````= 4/25

    Избыток чётных коэффициентов связан здесь с самостраховкой: нет ли ошибок при составлении самой системы?

    Здесь х1 – координата узла, расположенного на положительной части оси «х».
    а1 – соответствующий этому узлу весовой коэффициент (используемые здесь
    обозначения отличаются от обозначений в ОТВЕТЕ).
    х2 и х3 – координаты узлов на главной диагонали: (х2,х2) и (х3,х3): ``` 0 < x2 < x3.
    а2 и а3 - их весовые коэффициенты.
    х4 и у4 – координаты узла (х4,у4); ```х4 > y4 > 0.
    а4 – его весовой коэффициент.

    Как видим, задача похожа на школьную (для старших классов). Однако сомневаюсь, что найдётся школьник, у которого хватит терпения довести её до конца…

    Введём для сокращения писанины обозначения:

    x1^2 = p ``````` 2 a1 = u
    x2^2 = q ````````2 a2 = v
    x3^2 = r (r > q) ``2 a3 = w ````````````` (0)
    x4^2 = s ````````2 a4 = x
    y4^2 = t (s > t)

    Подставив это в систему и произведя естественные упрощающие вычитания уравнений, найдём, что из 8-го уравнения можно выразить величину

    x = 8/(525st(s-t)^2). ```````````````````(1)

    Если подставить это в остальные уравнения и изменить их порядок, получим систему из 8-ми уравнений с 8-ю неизвестными:

    ````2vq^4 + 2wr^4 `+ 32st/(525(s-t)^2) ``` = 4/25
    ````2vq^3 + 2wr^3 `+ 16(s+t)/(525(s-t)^2) ` = 4/15
    ````2vq^2 + 2wr^2 `+ 32/(525(s-t)^2) ``````= 4/9
    up + 2vq ``+ 2wr ```+ 16(s+t)/(525st(s-t)^2) = 4/3
    2u + 2v ```+ 2w ````+ 32/(525st(s-t)^2) `````= 4

    up^2 ````````````` + 16/(525st) ``````````` = 16/45
    up^3 ````````````` + 16(s+t)/(525st) ```````= 32/105
    up^4 ````````````` + 16(s+t)^2/(525st) `````= 64/225

    Последние три уравнения содержат 4 неизвестных. В результате не очень простого (но и не чрезмерно сложного!) анализа нужные нам комбинации можно выразить через величину p:
    .
    u = 256/(315p^2 (35p^2-60p+28))
    s+t = (2/5) (15p – 14)/(7p – 6) ``````````````````````` (2)
    st = (3/25) (35p^2 – 60p +28)/ (7p-6)^2 ```````````Равенства эти легко проверяются
    (s-t)^2 = (32/25) (15p^2 – 30p + 14)/ (7p-6)^2 `````подстановкой в эти 3 уравнения.

    Подставляя эти выражения в первые пять уравнений и перенося члены, содержащие величину p, в правые части, получим в результате весьма утомительных выкладок систему 5-ти уравнений с 5-ю неизвестными:

    vq^4 + wr^4 = A
    vq^3 + wr^3 = B `````````````````(3)
    vq^2 + wr^2 = C
    vq `` + wr ``= D
    v ````+ w `` = E,```` где правые части приведены к общему знаменателю:

    630p^2 (15p^2-30p+14) (35p^2-60p+28) ,

    а числитель А = (693p^2 – 1440p + 655,2) (35p^2 – 60p + 28)p^2
    - - - - - - - B = (945p^2 – 1956p + 924) (35p^2 – 60p + 28)p^2
    - - - - - C = (1365p^2 – 2940p + 1420) (35p^2 – 60p + 28)p^2
    - - - D = (91875p^5 – 368200p^4 + 546000p^3 – 363840p^2 + 96720p – 3584)p
    - E = 361375p^6 –1428000p^5 +2091600p^4 –1360800p^3 +324240p^2 +15360p –7168


    Кто-нибудь чувствует «родство» между этими 5-ю многочленами? Я во всяком случае – первоначально не чувствовал… К тому же числители D и E получились каждый в результате приведения к общему знаменателю и сложения трёх дробей с разными знаменателями. «Чудом» оказалось то, что оба они делятся на (35p^2 – 60p + 28). Как это было обнаружено? Случайно заметил, что 91875 и 361375 делятся на 35, а 3584 и 7168 – на 28. Возникло непреодолимое желание произвести соответствующие деления «в столбик». И всё разделилось!.. Итак, предыдущие строки можно заменить такими:

    где правые части приведены к общему знаменателю:

    630p^2(15p^2 – 30p + 14)

    а числитель А = (693p^2 – 1440p + 655,2)p^2
    - - - - - - - B = (945p^2 – 1956p + 924)p^2
    - - - - - C = (1365p^2 – 2940p + 1420)p^2
    - - - D = (2625p^2 – 6020p^2 + 3180p – 128)p
    - E = 10325p^4 –23100p^3 +11900p^2 –256


    ЗАМЕЧАНИЕ о проведении «утомительных» выкладок. При плохой организации работы их практически невозможно осуществить, так как шагов много, а вероятность ошибок на каждом шаге довольно велика. Причём в основном «дурацких» ошибок: перепутать цифру или знак (плюс-минус), пропустить символ, написать его два раза, выбрать число из «чужой» позиции… Бывают (реже) и более серьёзные ошибки, связанные со сбоем в понимании своей «теории».
    Пример. Если вероятность ошибки на каждом шаге равна 0,01, то вероятность НЕ
    ошибиться за 100 шагов равна (1-0,01)^100=1/e = 0,368, за 200 шагов 1/e^2 = 0,135, а за 300 шагов 1/e^3 = 0,05…

    Подобно альпинистским восхождениям здесь не обойтись без страховки. Моя страховка состояла в следующем. Каждый ЭТАП вычислений состоит из серии элементарных шагов. Сделав один шаг, СРАЗУ делал его повторно и сравнивал результаты. Завершив этап, производил его численную проверку: придавал переменным конкретные числовые значения и сравнивал числовые значения преобразуемых выражений в начале этапа и в его конце. Иногда использовал более одного варианта придаваемых значений. Этот тест-контроль хотя и не является доказательством безошибочности выкладок, но значительно повышает уверенность и смелость продолжать работу. При этом объём труда возрастает всего примерно в 3 раза по сравнению с бесконтрольной работой, которую, как я сказал выше, практически невозможно завершить без ошибки.

    ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ.

    В систему (3) неизвестные v и w входят линейно. Выразим v по «правилу Крамера» cперва из 1-го и 2-го, а затем из 2-го и 3-го уравнений. Получим два разных выражения, приравняв которые, получим после упрощений первую строку такой системы:

    Сqr – B(q+r) + A = 0
    Dqr – C(q+r) + B = 0 ````````````` (4)
    Eqr – D(q+r) + C = 0

    Вторая строка получается аналогично из 2-го и 3-го, а затем 3-го и 4-го уравнений.
    Третья - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3-го и 4-го, - - - - - 4-го и 5-го - - - - - - -

    Система (4) выглядит как однородная система линейных уравнений относительно неизвестных: qr, (q+r) и z, ИМЕЮЩАЯ ЗАВЕДОМО ненулевое решение: (qr, (q+r), 1).
    А это возможно лишь тогда, когда определитель такой системы равен нулю. Итак, НЕОБХОДИМЫМ условием разрешимости системы (4) является равенство:

    C^3 + B^2 E + D^2 A – ACE – 2BCD = 0

    Это – уравнение для нахождения величины p. Дальнейшие ещё более утомительные выкладки приводят к тому, что оно эквивалентно такому:

    (155p^2-150p+27)/(p^2 (15p^2-30p+14)) = 0 ``````````````(5)

    То есть задача свелась к решению квадратного уравнения!

    В ходе этих выкладок было обнаружено (примерно аналогичным способом) ещё более удивительное «чудо»: делимость некоторого промежуточного многочлена 6-й степени на (15p^2-30p+14)^2 , что и привело к квадратному уравнению.

    Решая (5) получим для p два значения:

    p1 = (75-12√10)/155 = 0,23904 94714 708352…
    p2 = (75+12√10)/155 = 0,72869 24640 130354…

    Отсюда в частности видно, как получить параметры нашей кубатурной формулы с произвольным числом знаков: надо точнее вычислить √10 и все последующие квадратные корни (кроме этого будут использоваться лишь “четыре арифметических действия»).
    Дальнейший план простой. Надо для p1 и p2 вычислить A, B, C, D и E. Затем решить систему (4). При этом обнаружится, что условие равенства нулю рассмотренного определителя не только необходимо, но и достаточно (окажется, что z не равно нулю!) для её разрешимости. Однако величину p2 придётся отвергнуть, т.к. при этом будет qr < 0. Затем, зная qr и q+r. найдём сами q и r (q < r). Потом из системы (3) по «правилу Крамера» найдём v и w.
    Затем из соотношений (2) найдём u, st и s+t. Потом найдём s и t и, наконец, из соотношения (1) получим x. Осталось из соотношений (0) вычислить нужные узлы и весовые коэффициенты.
    [свернуть]


    ИЗВИНЕНИЕ. Редактор нашего форума слабо уважает "пробелы". В результате формулы получились плохо читаемыми. Первоначально они были набраны в Word-е. Будет время, - попробую их здесь "подретушировать" попозже.
    Последний раз редактировалось Mathem; 02.02.2016 в 18:44.

  2. 3 пользователя(ей) сказали cпасибо:

    Lupus (20.01.2016), Riddler (12.01.2016), Shuravi (13.01.2016)

  3. #2
    Фанат Array Аватар для Mathem
    Регистрация
    22.11.2015
    Сообщений
    157
    Сказал(а) спасибо
    6
    Поблагодарили 485 раз(а)
    в 158 сообщениях
    Онлайн
    1 М 3 Нед 3 Дней 14 ч 7 мин 16 сек
    В среднем
    15 мин 49 сек
    Mathem (jakov)

    ОБОБЩЕНИЕ «метода Ньютона» численного решения уравнений

    В своё время Исаак Ньютон предложил такой итеративный подход к решению уравнения f(x)=0:

    x1 = x0 - f(x0)/f`(x0) ,
    x2 = x1 - f(x1)/f`(x1) и т.д.

    Если начальная точка x0 выбрана удачно, этот подход оказывается необычайно эффективным.

    Скрытый текст

    Например, вычисление √a соответствует решению уравнения (f(x)=) x^2-a=0. Если расписать для этого уравнения вышеприведенные формулы, получим

    x1 = 0,5(x0+a/x0) ,
    x2 = 0,5(x1+a/x1) . . .

    Именно этот алгоритм «зашит» в программы всех калькуляторов и компьютеров. И этот алгоритм обладает удивительным свойством: если начальная точка содержит ДВЕ первые ВЕРНЫЕ значащие цифры, то каждая итерация УДВАИВАЕТ количество верных цифр.
    Например, если для вычисления √2= 1,41421356237… взять x0=1,4 , то на десятой итерации мы получим более 1000 верных знаков!

    На одном из форумов встретилось мне замечание одного из участников:
    «Если бы был алгоритм, пусть ограниченный, прямого решения систем нелинейных уравнений, тогда это серьезно…»

    Цитирую свой ответ:
    «Могу предложить такой подход (уверен, что его кто-нибудь уже предлагал!):
    Пусть
    X - это вектор-СТОЛБЕЦ (x1, x2, ..., xn)
    F(X) - столбец значений n различных функций в "точке" X.
    D(X) - матрица частных производных этих функций (столбец строк-"градиентов").
    Dо(X) - обратная матрица.

    Тогда систему F(X)=0 "решает" итерационный процесс:

    X1 = X0 - Dо(X0)*F(X0) ,
    X2 = X1 - Do(X1)*F(X1) . . .

    Это - обобщение знаменитого "метода Ньютона" решения уравнений. И похоже, этот процесс будет так же фантастически быстро сходиться, если начальная точка оказалась в "зоне притяжения корня".
    Метод этот будет хорош, если у вас под рукой имеются удобные инструменты умножения и обращения матриц. У меня таким инструментом была вычислительная система Excel-2010.

    ПРИМЕР. Система

    exp(x^2) + xy + xz = A
    yx + exp(y^2) + yz = B
    zx + zy + exp(z^2) = C

    решалась с начальной точкой (x, y, z) = (1, 1, 1) и с различными А, В, С.
    Некоторые результаты представлены в таблице. В нижней строке указаны номера итераций, на которых достигнуты указанные значения (x, y, z). Сами значения округлены (Excel-2010 ведёт свои расчёты примерно с 15 значащими разрядами.). Четыре средние колонки описывают варианты, когда «невязки» (разности между левыми и правыми частями всех уравнений) обратились в чистый машинный нуль (результаты просто блестящие!). В первом варианте процесс вышел на режим «уполовинивания» расстояния до точки x=y=z=0 (вырожденный случай?).. В последнем варианте на 6-й итерации стала ясна расходимость процесса (нет решений?).

    А``````` 1`````````` 1``````````` 1`````````` 0,9```````` 10````````` -0,1
    В``````` 1`````````` 2``````````` 3`````````` 1,2```````` 13`````````` 2
    С``````` 1`````````` 3``````````` 5`````````` 1,2```````` 16`````````` 2
    x``` 3,943E-08``` 4,075E-17``` -3,74E-17``` -0,189625``` 1,335085``` -3,082765
    y``` 3,943E-08``` 0,6003001```` 0,836647```` 0,360216``` 1,471996```` 1,287405
    z``` 3,943E-08``` 0,9431186```` 1,178862```` 0,360216``` 1,565705```` 1,287405
    i ```````25`````````` 6``````````` 6`````````` 8`````````` 9``````````` 6

    Конечно, исследовать системы нелинейных уравнений – задача очень трудная из-за непонятности топологии поверхностей уровня. Но в качестве рабочего инструмента этот подход можно рекомендовать.»
    [свернуть]
    Последний раз редактировалось Mathem; 21.01.2016 в 12:18.

  4. 3 пользователя(ей) сказали cпасибо:

    Lupus (20.01.2016), Riddler (21.01.2016), Shuravi (21.01.2016)

  5. #3
    Фанат Array Аватар для Mathem
    Регистрация
    22.11.2015
    Сообщений
    157
    Сказал(а) спасибо
    6
    Поблагодарили 485 раз(а)
    в 158 сообщениях
    Онлайн
    1 М 3 Нед 3 Дней 14 ч 7 мин 16 сек
    В среднем
    15 мин 49 сек
    ТЕОРЕМА. Пусть А – квадратная целочисленная матрица. Тогда обратная матрица будет целочисленной тогда и только тогда, когда определитель А равен плюс-минус единице.
    Примеры таких матриц:
    6 ` ` ` 1 ` ` ` ` ` ` ` 1 ` ` ` 2 ` ` ` 1 ` ` ` ` ` ` ` ` Обратные: ` ` ` ` `7 ` `-1 ` ` ` ` ` ` ` ` 19 ` ``-5 ` ` -3
    41` ` `7 ` ` ` ` ` ` ` 3 ` ` ` 7 ` ` ` 2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `-41 ` ` 6 ` ` ` ` ` ` ` ` -7 ` ` ` 2 ` ` `1
    ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` 1 ` ` ` 1 ` ` ` 3 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `-4 ` ` ` 1 ` ` `1
    Доказательство, хотя и простое, но опирается на два глубоких факта:
    Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
    Способ вычисления обратной матрицы с помощью построения «союзной» матрицы.
    - - - - - - -
    Обрадовался вчера, задумав эту тему. Сегодня утром сформулировал и доказал эту теорему. К обеду обнаружил её как задачу в великолепном задачнике:
    И.В.Проскуряков, Сборник задач по линейной алгебре, М, 1967 г.
    Блестящий и очень полный подбор задач. Кстати, Проскуряков был незрячим…

  6. Пользователь сказал cпасибо:

    Shuravi (15.11.2017)

Информация о теме

Пользователи, просматривающие эту тему

Эту тему просматривают: 1 (пользователей: 0 , гостей: 1)

Похожие темы

  1. запретили слова "день рождения" и "танцы"
    от Irini в разделе Новости со всего мира
    Ответов: 4
    Последнее сообщение: 10.04.2012, 18:11
  2. "Аватар" стал триумфатором церемонии "Золотой глобус"
    от Santana в разделе Новости киноиндустрии
    Ответов: 4
    Последнее сообщение: 14.11.2010, 01:15

Ваши права

  • Вы не можете создавать новые темы
  • Вы не можете отвечать в темах
  • Вы не можете прикреплять вложения
  • Вы не можете редактировать свои сообщения
  •