ТЕОРЕМА. Пусть А – квадратная целочисленная матрица. Тогда обратная матрица будет целочисленной тогда и только тогда, когда определитель А равен плюс-минус единице.
Примеры таких матриц:
6 ` ` ` 1 ` ` ` ` ` ` ` 1 ` ` ` 2 ` ` ` 1 ` ` ` ` ` ` ` ` Обратные: ` ` ` ` `7 ` `-1 ` ` ` ` ` ` ` ` 19 ` ``-5 ` ` -3
41` ` `7 ` ` ` ` ` ` ` 3 ` ` ` 7 ` ` ` 2 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `-41 ` ` 6 ` ` ` ` ` ` ` ` -7 ` ` ` 2 ` ` `1
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` 1 ` ` ` 1 ` ` ` 3 ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `-4 ` ` ` 1 ` ` `1
Доказательство, хотя и простое, но опирается на два глубоких факта:
Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
Способ вычисления обратной матрицы с помощью построения «союзной» матрицы.
- - - - - - -
Обрадовался вчера, задумав эту тему. Сегодня утром сформулировал и доказал эту теорему. К обеду обнаружил её как задачу в великолепном задачнике:
И.В.Проскуряков, Сборник задач по линейной алгебре, М, 1967 г.
Блестящий и очень полный подбор задач. Кстати, Проскуряков был незрячим…
Ответить с цитированием