В продолжение темы поста #103, хочу привести цитату. иллюстрирующую особый подход математиков к доказательству своих утверждений. Сделаю это на примере одной просто формулируемой. но отнюдь не просто решаемой задачи. Сначала о самой задаче…
Рассмотрим такой вопрос. Пусть на плоскости задан некоторый круг. Сколько максимально кругов того же радиуса могут «окружить» этот (исходный) круг так, чтобы каждый из них его касался, а друг на друга они не накладывались (самое большее – только касались)? Ответ почти очевиден: 6 кругов. И доказательство максимальности очень просто: каждый из окружающих кругов «виден» (сделайте чертёж) из центра исходного под углом 60 градусов, а 6*60 = 360 градусов.
Совсем не простым оказывается аналогичный вопрос для шаров в пространстве. Поступим сначала как с кругами: оценим величину «телесного» угла, под которым окружающий шар виден из центра исходного .Этот телесный угол будет круговым конусом, образующая которого отклонена от оси на 30 градусов (тот же чертёж). Величину его будем измерять площадью «шапочки», которую этот конус «вырезает» из поверхности исходного шара.
Воспользуемся изящной теоремой, утверждающей, что площадь шапочки, отсекаемой плоскостью от сферы радиуса R, равна 2*пи*R*H, где H – «высота» этой шапочки. Раньше, когда школьники учились «по Киселёву», теорема эта входила в школьную программу; сейчас – не знаю. Но её нетрудно доказать с помощью интегралов… Кстати, верна она и тогда, когда секущая плоскость просто касается сферы, которая (вся) является этой шапочкой. В этом случае H = 2R.
В нашем случае H = R*(1 – cos30гр) = R*(1- К(3)/2) = R*0,134… , поэтому отношение поверхности всего шара к площади шапочки равно
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` 2*пи*R*2R / (2*пи*R*R*0,134) = 14,9
Но непересекающимся окружающим шарам должны соответствовать непересекающиеся шапочки. Поэтому ясно, что более 14 шаров приложить нельзя
.
Но сколько шаров приложить можно? Если исходный шар лежит на горизонтальной плоскости, то на той же плоскости прикладываются 6 шаров (как у кругов). При этом сверху возникают 6 углублений, в три из которых (через одно) можно приложить ещё три шара. Аналогично прилагаются ещё три снизу.
Подобное расположение шаров было впервые описано в 1611 г. одним из основателей современной астрономии и математики знаменитым Иоганном Кеплером (1571-1630), хотя практически складывали таким образом одинаковые шары (складывая из них «пирамиду»), вероятно, и до того времени.
Остался вопрос: каково же максимальное количество «прилагаемых» шаров? Это либо 12, либо 13, либо 14. Но сколько на самом деле?
Физик-экспериментатор или практик-изобретатель сказали бы тут что-нибудь в таком духе:
«Всего-то и делов? Поместим нужное число биллиардных шаров в мешок из тонкой ткани, завяжем его и начнём теребить и уминать. При каком максимальном количестве удастся «умять» до нужного размера, то и будет максимальным.»
Такое «практическое» доказательство может удовлетворить многих, но не матиматиков. Во-первых, биллиардные шары, как бы аккуратно они не были сделаны, - это всё-таки не шары, а лишь «шароподобные тела», да и не совсем одинаковые.
Во-вторых, не ясно, когда закончить уминание.
И в-третьих (самое важное), ничего не даёт для понимания, от каких «размеров» или их комбинаций зависит результат?
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Теперь приведу обещанную цитату:
«В 1694 году по этому вопросу разгорелась даже оживленная полемика: известный естествоиспытатель того времени Дэвид Грегори утверждал, что можно приложить 13 равных ему шаров, а гениальный Исаак Ньютон – что нельзя, но доказать свою правоту, т.е. точно определить это максимальное число, ни одному из них не удалось.
Первым, кому удалось решить эту задачу, а именно доказать гипотезу Ньютона, что это число равно 12, был немецкий геометр Рудольф Гоппе; об этом сообщается в статье его соотечественника К.Бендера, опубликованной в 1874 г., т.е. через 180 лет после дискуссии Ньютон – Грегори.
Годом позже доказательство Р.Гоппе усовершенствовал другой немецкий геометр С.Гюнтер, однако оно всё еще оставалось очень сложным и запутанным.
Многие специалисты, например, известный венгерский геометр Ласло Фейеш Тот, считают даже, что первое безупречное доказательство дали в 1953 г. (через 342 г. после того, как И.Кеплер доказал, что это число больше или равно 12 и через 259 лет после дискуссии Ньютона с Грегори) один из крупнейших алгебраистов ХХ века Бартель Леенберг ван дер Варден и выдающийся немецкий логик Карл Шютте.
Ещё более простое доказательство того, что к шару нельзя приложить 13 равных ему шаров предложил в 1956 г. англичанин Джон Лич – однако и это доказательство является довольно сложным.»
` ` ` ` ` ` (И.М.Яглом, 1921-1988, известный советский математик)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Цитата взята из изданной в 1975 г. в Киеве его брошюры «Проблема тринадцати шаров» (пособия для учащихся физико-математических школ).
В этой брошюре И.М.Яглом не отважился (а может и не нашел?) изложить полное решение этой проблемы. Зато привёл аккуратное доказательство невозможности приложить 14 шаров. Это доказательство заняло у него целых 6 страниц, содержит 3 рисунка (один – довольно замысловатый, каждый – иллюстрирует некое остроумное геометрическое построение), использует без упоминаний несколько школьных фактов и:
Упомянутую выше теорему о площади шаровой «шапочки»,
Теорему Эйлера: В + Г – Р = 2, где В – количество вершин, Г – граней, Р – рёбер любого простого (без «дыр») многогранника.
Изящную теорему «сферической» геометрии: Если на сфере радиуса 1 задан треугольник ABC, стороны которого суть дуги большого круга, то его площадь равна
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `` `(сумме углов, измеренных в радианах) минус «пи».
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ЗАМЕЧАНИЕ. Способов «приложить» 12 шаров в действительности бесконечно много: именно поэтому возникла эта проблема 13-го и 14-го шара. Способ, описанный Кеплером, на первый взгляд кажется единственным. Но он содержит условие: центры исходного шара и шести прилагаемых лежат в одной плоскости. Если отказаться от этого условия, можно увидеть эту «бесконечность». Оказывается например, что шары можно приложить так, что они касаются исходного в точках, где находятся вершины вписанного в исходный шар икосаэдра. Тогда каждый приложенный шар имеет некоторую «свободу» перемещения.
Напомню. Икосаэдр – это правильный многогранник, грани которого – равносторонние треугольники (20 штук). Имеет 12 вершин и 30 ребер. И (главное для нас здесь) имеет место формула:
` ` ` ` ` ` ` ` ` `а = 4 / (К(2*(5+К(5)))) = R*1,05146… ,
где R – радиус описанной сферы и а – длина его ребра.
Так что если наши шары имеют радиус 10 см, то между ними есть зазор более сантиметра.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Еще одно ЗАМЕЧАНИЕ.
"Раз пошла такая пьянка - режь последний огурец!" ` ` ` (русская поговорка)
Раз уж я посаятил этот пост математичесской строгости, - то подниму её (строгость) еще на один уровень. А именно - подвергну критике саму цитату И.М.Яглома.
Мне не известно, насколько верны все упомянутые в ней факты, но я заметил (и то, - только вчера: 18.07.2019) содержащуюся в ней логическую неточность:
". . .известный естествоиспытатель того времени Дэвид Грегори утверждал, что можно приложить 13 равных ему шаров, а гениальный Исаак Ньютон – что нельзя, но доказать свою правоту, т.е. точно определить это максимальное число, ни одному из них не удалось."
В действительности, если бы И.Ньютон доказал свою правоту, задача была бы полностью решена. Но если бы это сделал Д.Грегори, для полного решения требовалось бы еще доказать невозможность приложить 14 шаров.
Ответить с цитированием